某硫酸厂长期将含酸废水通过其排污管道排入离其厂区不远的一条河流，当地环保部门按照相关规定要求其限期治理，并缴纳超标排污费。河流附近的农民从该河中取水灌溉。某日，该村村民张某发现经前日浇灌过的果树发生大面积死亡，直接经济损失达5万元。于是张某向环保局投诉。环保部门通过调查认为，果树是因为受酸水腐蚀而死，于是在夜间没有通知该厂的情况下对排污口进行取样监测，pH值为3.20，因此认定果树死亡硫酸厂应负全部责任。张某要求硫酸厂赔偿其经济损失，遭到拒绝。硫酸厂认为，虽然自己排放的废水没有达到排放标准，但已经向环保部门缴纳超标排污费，不应承担损害赔偿责任。硫酸厂是否应该承担赔偿责任，为什么？